前言
 

雷達截面(Radar Cross Section, RCS)是描述目標物對入射電磁波之散射能力的重要物理量，廣泛應用於雷達系統、電磁相容、遙測、天線設計與目標辨識。對任意三維物體而言，RCS 通常需要透過有限差分時域法(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)、有限元素法或積分方程法等數值方法求解。數值結果的可信度則必須透過具有已知解析解的標準模型加以驗證。
 

完美電導體球體(Perfect Electric Conductor Sphere, PEC Sphere)具有明確的電磁邊界條件與高度幾何對稱性，其散射場可以利用米氏散射理論(Mie scattering theory)得到精確解析解。因此，PEC 球體常被用於驗證平面波激發、網格離散、遠場轉換、極化分量與 RCS 後處理流程。
 

本文針對教材範例 3.2.27 Bistatic RCS for PEC Sphere 的內容進行補充說明，以半徑 $a=0.127\ \mathrm{m}$、工作頻率 $f=10\ \mathrm{GHz}$ 的 PEC 球體為例，說明雙站 RCS 的定義、米氏散射解析方法，以及如何將解析結果與 Sim4Life EM-FDTD 模擬結果進行定量比較。

1. 雙站雷達截面（Bistatic RCS）介紹

1.1 雷達截面的物理定義

雷達截面並非目標物的實際幾何面積，而是目標物將入射電磁能量散射至指定方向的等效能力。對遠場觀測點而言，RCS 可定義為
 

$$\sigma =\underset{r\to \infty }{lim}4\pi r^2\frac{{\left|E_s\right|}^2}{{\left|E_i\right|}^2}$$
其中:

• $E_i$ 為目標位置處的入射電場
• $E_s$ 為距離目標 $r$ 處的散射電場
• $r$ 為觀測點與散射體之間的距離
• $\sigma$ 的單位為平方公尺（$\mathrm{m^2}$）

RCS 亦常以 dBsm 表示:
 

$${\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{s}\mathrm{m}}=10{log}_{10}\left(\frac{\sigma }{1{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}}\right)$$
RCS 與目標物的尺寸、形狀、材料、入射頻率、入射方向、觀測方向及電磁波極化均有關。因此，一個物體通常不具有單一固定的 RCS，而是具有隨頻率與角度變化的散射特徵。
 

1.2 單站與雙站 RCS

依照發射方向與接收方向的幾何關係，RCS 可分為單站與雙站兩類:

- 單站 RCS (Monostatic RCS): 發射端與接收端位於相同位置或方向，因此接收方向與入射波來源方向相同，主要量測目標物的背向散射

- 雙站 RCS (Bistatic RCS): 發射端與接收端位於不同位置。入射波方向固定，而接收方向可在目標物周圍改變，因此可表示為:
 

$$\sigma=\sigma(\theta,\phi),$$

其中 $\theta$ 與 $\phi$ 分別為觀測方向的極角與方位角。
 

完整雙站 RCS 可使用三維球面圖表示，也可固定其中一個角度並掃描另一個角度，以形成一維角度響應。本文固定
 

$$\theta=90^\circ$$

並掃描
 

$$\phi=90^\circ\sim270^\circ,$$

以取得球體赤道平面內的雙站 RCS 分布。
 

1.3 PEC 球體作為數值驗證模型
 

PEC 球體適合作為計算電磁學驗證案例，主要基於以下特性。
 

首先，球體具有旋轉對稱性。對均勻平面波入射而言，散射分布應對入射波傳播軸呈現相應對稱性。數值結果若出現不合理的左右差異或方向偏移，通常表示幾何位置、入射方向、極化設定或網格離散存在問題。
 

其次，PEC 邊界條件明確。理想導體內部的電場為零，且導體表面必須滿足
 

$$\hat{\mathbf n}\times\mathbf E_{\mathrm{total}}=0,$$

其中 $\hat{\mathbf n}$ 為球面外法向量。此條件表示導體表面的切向總電場必須為零。
 

最後，球體散射存在完整的解析解。透過米氏散射理論，可以獨立計算不同觀測角度與極化方向的遠場散射振幅，並直接與 FDTD 結果比較。相較於兩套數值方法之間的交叉比對，解析解能提供更原始的基準。
 

本案例的主要參數如下:
 

2. 米氏散射(Mie scattering)基本原理

米氏散射理論是 Maxwell 方程組在球形幾何下的精確解析解。其核心概念是: 將照射球體的平面波分解成一系列不同階次的球面電磁波，再逐一求出各球面波受到球體影響後的散射強度與相位，最後將所有階次相加，得到完整的散射場。
 

2.1 球體表面的感應電流與散射場
 

當平面電磁波照射 PEC 球體時，入射電場會驅動導體表面的自由電荷移動，形成隨位置變化的感應表面電流。這些表面電流會向外輻射並形成散射場。
 

球體外部的總電場與總磁場分別為
 

$$E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=E_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}+E_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}$$
以及
 

$$E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=H_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}+H_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}$$
散射場必須同時滿足 Maxwell 方程組、PEC 表面邊界條件及向外輻射條件。
 

由於球體邊界最適合以球座標描述，米氏理論會將入射場與散射場展開為一系列向量球面波函數。概念上可表示為
 

$$E_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\sum _{n=1}^{\infty }{E}_n^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}$$
以及
 

$$E_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}=\sum _{n=1}^{\infty }{E}_n^{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}$$

每個階次 $n$ 代表不同的球面多極模式:

• $n=1$: 偶極型模式
• $n=2$: 四極型模式
• 較大的 $n$: 描述球面上變化更快速、空間尺度更細的電流分布

每一階球面波也稱為部分波(partial wave)。每個部分波都會與球體發生作用，並取得特定的散射振幅與相位。

總散射場可概念性地寫成
 

$$S^{\left(1\right)}\left({\theta }_s\right)+S^{\left(2\right)}\left({\theta }_s\right)+S^{\left(3\right)}\left({\theta }_s\right)+\cdots$$
其中 $S^{(n)}$ 表示第 $n$ 階模式在散射角 $\theta_s$ 方向上的貢獻。

如果多個模式在某個方向大致同相，它們會互相增強並形成較大的散射峰值; 如果彼此反相，則會互相抵消並形成散射零點。

這種模式疊加是米氏散射角度響應具有複雜旁瓣結構的主要原因。
 

2.2 尺寸參數與散射區域
 

米氏散射行為主要由尺寸參數決定:
 

$$x=ka=\frac{2\pi a}{\lambda }$$
其中:

• $a$ 為球體半徑
• $\lambda$ 為自由空間入射波波長
• $k=2\pi/\lambda$ 為自由空間波數

尺寸參數反映球體相對於波長的大小，並決定散射場需要包含多少階球面波。
 

當 $x\ll1$ 時，球體遠小於波長，入射電場在整個球體範圍內的相位幾乎相同，因此球體主要表現為一個受激發的電偶極子。此時高階模式很弱，散射主要由最低階偶極項主導，散射圖形相對平滑。此區域稱為 Rayleigh 散射區，其散射強度對頻率具有很強的依賴性，典型關係近似為
 

$${\sigma }_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}\propto f^4$$
當 $x\approx1$ 或更大時，多個球面波階次會同時產生顯著貢獻，不同模式之間的相位干涉將形成主瓣、旁瓣與散射零點。

當 $x\gg1$ 時，球體遠大於波長，球體表面可支持大量空間變化快速的電流模式，因此需要納入更多高階模式。此區域的散射亦可使用物理光學、繞射與爬行波等高頻概念解釋部分現象，但米氏級數仍是球體問題的精確解。

本文案例中
 

$$a=0.127\mathrm{m},f=10\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{z}$$
自由空間波長約為
 

$$\lambda =\frac{c_0}{f}\approx 0.02998\mathrm{m}$$
因此
 

$$x=ka\approx 26.6172$$
球體半徑約為 4.24 個波長，直徑約為 8.47 個波長。此尺寸足以激發大量高階模式，因此 RCS 角度曲線中會出現密集的旁瓣與深零點。
 

2.3 Sim4Life 平面波設定與米氏理論的角度轉換

角度定義必須在解析計算與數值模擬之間保持一致。多數米氏散射文獻使用物理散射角 $\theta_s$，並定義
 

$$\theta_s=0^\circ$$

為前向散射，也就是觀測方向與入射波傳播方向相同。

相對地，
 

$$\theta_s=180^\circ$$

為背向散射，也就是散射波返回入射波來源的方向。
 

在本文採用的 Sim4Life 平面波設定中，$\phi=180^\circ$ 對應前向散射方向，而完整方位角中的 $\phi=0^\circ$ 對應背向散射。因此，Sim4Life 平面波方位角應轉換為
 

$${\theta }_s=\left|{wrap}_{[-{180}^{\circ },{180}^{\circ })}(\varphi -{180}^{\circ })\right|$$
在本文的掃描範圍 $90^\circ\le\phi\le270^\circ$ 內，可簡化為
 

$${\theta }_s=|\varphi -{180}^{\circ }|$$
因此
 

$$\varphi ={180}^{\circ }\Rightarrow {\theta }_s=0^{\circ }$$
而

$$\varphi ={90}^{\circ },{270}^{\circ }\Rightarrow {\theta }_s={90}^{\circ }$$
由於球體具有對稱性，理想解析曲線應以 $\phi=180^\circ$ 為中心呈現左右對稱。若未進行此角度轉換，可能造成前向與背向散射顛倒，或使解析曲線與模擬曲線在角度軸上錯位。
 

2.4 PEC 球體的米氏係數

米氏理論中的徑向場分布由球面 Bessel 函數與球面 Hankel 函數描述。

第一類球面 Bessel 函數
 

$$j_n(x)$$

在原點保持有限值，因此適合描述球體內部或不允許在球心出現奇異值的電磁場。

第一類球面 Hankel 函數為
 

$$h_n^{\left(1\right)}\left(x\right)=j_n\left(x\right)+i{y}_n\left(x\right)$$
在遠距離下具有向外傳播球面波的形式，因此適合描述散射場。

在計算中通常定義 Riccati-Bessel 函數:
 

$${\psi }_n\left(x\right)=x{j}_n\left(x\right)$$

$${\xi }_n\left(x\right)=x{h}_n^{\left(1\right)}\left(x\right)$$
使用 Riccati-Bessel 函數可使米氏係數的表示式更簡潔，也便於處理徑向導數。
 

電磁場是向量場，因此每一階球面波還可分為兩類彼此獨立的電磁模式，通常稱為電型與磁型多極模式。這兩類模式通常以米氏係數 $a_n$ 與 $b_n$ 表示:

• $a_n$ 描述其中一類向量球面波
• $b_n$ 描述另一類與其正交的向量球面波

入射平面波會同時激發兩類模式。它們在不同觀測方向上的角度分布不同，因此必須同時保留，才能完整描述散射場。
 

對 PEC 球體而言，米氏係數可寫為

$$a_n=-\frac{{\psi }_n\prime \left(x\right)}{{\xi }_n\prime \left(x\right)}$$

$$b_n=-\frac{{\psi }_n\left(x\right)}{{\xi }_n\left(x\right)}$$
其中撇號表示對尺寸參數 $x$ 微分。

這兩組係數描述第 $n$ 階電磁模式經球體散射後的複數振幅。由於它們是複數，因此同時包含:

• 散射強度
• 相位延遲
• 各階模式之間的相對相位

在部分文獻中，$a_n$ 與 $b_n$ 會因時間因子採用 $e^{i\omega t}$ 或 $e^{-i\omega t}$ 而出現整體正負符號差異。只要時間因子、Hankel 函數與散射場定義彼此一致，整體符號不會改變以模平方計算的 RCS。
 

2.5 角向函數與極化散射振幅

徑向函數描述場隨距離的變化，角向函數則描述各階模式如何分布於不同觀測方向。

令
 

$$\mu =cos{\theta }_s$$
米氏理論中的角向函數可表示為
 

$${\pi }_n\left(\mu \right)=\frac{P_n^1\left(\mu \right)}{sin{\theta }_s}$$

$${\tau }_n\left(\mu \right)=\frac{\mathrm{d}{P}_n^1(cos{\theta }_s)}{\mathrm{d}{\theta }_s}$$
其中 $P_n^1$ 為一階伴隨 Legendre 函數。

$\pi_n$ 與 $\tau_n$ 決定第 $n$ 階模式在不同散射角上的方向性。隨著 $n$ 增加，角向函數會出現更多振盪，因此能描述更多旁瓣與零點。

實際數值計算通常不直接使用上述定義，而是採用遞迴關係，例如從
 

$$\pi_0=0, \qquad \pi_1=1$$

開始逐階計算 $\pi_n$ 與 $\tau_n$。遞迴方法可避免在 $\theta_s\to0^\circ$ 時直接除以很小的$\sin\theta_s$，因此在前向散射方向具有較好的數值穩定性。

散射結果除了與觀測方向有關，也與極化方向有關。米氏理論通常將遠場散射分解為兩個互相正交的極化分量:
 

$$S_1=\sum _{n=1}^N\frac{2n+1}{n(n+1)}(a_n{\pi }_n+b_n{\tau }_n)$$

$$S_2=\sum _{n=1}^N\frac{2n+1}{n(n+1)}(a_n{\tau }_n+b_n{\pi }_n)$$
在標準定義下:

• $S_1$ 通常對應垂直於散射平面的極化分量
• $S_2$ 通常對應平行於散射平面的極化分量

散射平面由入射方向與觀測方向共同決定。當觀測方向改變時，散射平面也可能隨之改變，因此在比對 Sim4Life 數值解與米氏解析解結果時，必須確認兩者使用相同的局部極化分量。
 

對本文的平面波方向、極化角度與 $\theta=90^\circ$ 方位角切面而言，範例 3.2.27 Bistatic RCS for PEC Sphere 中 Figure 3 的解析解曲線由標準定義下的 $S_2$ 分量重現。

若改用 $S_1$，可能仍會看到位於 $\phi=180^\circ$ 的前向主瓣，但旁瓣振幅、零點深度及部分零點位置會明顯不同。
 

2.6 多階模式的干涉效應：主瓣、旁瓣與散射零點

特定方向上的總散射振幅可視為各階球面模式的相干總和:
 

$$S(\theta_s) = \sum_{n=1}^{N}S^{(n)}(\theta_s).$$

當多個模式在某一方向具有相近相位時，散射場會產生建設性干涉，形成主瓣或旁瓣。

當不同模式在某一方向彼此抵消時，
 

$$S\left({\theta }_s\right)\approx 0$$
便形成散射零點。因此，RCS 曲線中的深零點不代表球體沒有受到電磁波照射，而是不同階次的散射場在該方向發生相消干涉。由於零點附近的解析場極小，任何有限網格、角度取樣或數值雜訊都可能在分貝(dB)尺度上形成顯著差異。
 

對尺寸大於波長的球體而言，許多球面波模式會在前向方向產生相干疊加，因此前向散射通常形成狹窄且較強的主瓣。依據光學定理，前向散射振幅的虛部與總消光截面具有直接關係。因此，前向散射主瓣同時反映球體對入射波的遮蔽、繞射及各階模式的相干疊加。
 

2.7 米氏散射振幅與雙站 RCS 正規化

米氏級數首先得到的是遠場散射振幅，而不是直接得到 RCS。在遠場中，散射電場具有近似形式
 

$$E_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}\propto \frac{e^{ikr}}{kr}S\left({\theta }_s\right)$$
其中:

• $e^{ikr}$ 描述傳播相位
• $1/r$ 描述球面波振幅隨距離衰減
• $S(\theta_s)$ 描述方向與極化相關的無因次散射振幅

對 $S_1$ 與 $S_2$ 兩個極化分量，相應的雙站 RCS 為
 

$$\sigma_1=\frac{4\pi}{k^2}|S_1|^2,$$

$${\sigma }_2=\frac{4\pi }{k^2}{\left|S_2\right|}^2$$
本案例選定 $S_2$ 極化分量，因此
 

$$\sigma \left(\varphi \right)=\frac{4\pi }{k^2}{\left|S_2\left({\theta }_s\left(\varphi \right)\right)\right|}^2$$
若要比較正規化角度響應，解析解與數值模擬曲線均以 $\phi=180^\circ$ 的前向散射值作為 0 dB 參考。

對於線性 RCS，正規化方式為
 

$$10{log}_{10}\left[\frac{\sigma \left(\varphi \right)}{\sigma \left({180}^{\circ }\right)}\right]$$

如果提取的是複數 RCS 場幅，則使用
 

$$20{log}_{10}\left[\frac{\left|E_{\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{S}}\left(\varphi \right)\right|}{\left|E_{\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{S}}\left({180}^{\circ }\right)\right|}\right]$$

由於
 

$$\sigma \propto {\left|E_{\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{S}}\right|}^2$$
兩種表示方式在物理上等價。

解析與數值模擬曲線應分別使用各自在 $180^\circ$ 的數值正規化，不應將其中一條曲線的參考值套用至另一條曲線，也不宜使用固定不變的分貝參考值。
 

2.8 米氏級數截斷與數值收斂

理論上的米氏級數包含無限多個階次:
 

$$n=1,2,3,\dots ,\infty$$
在實際計算中，當階次足夠高時，新增模式對結果的貢獻會快速減小，因此可以在有限階數 $N$ 截斷。

常用的 Wiscombe 型截斷估算為
 

$$N=\lceil x+4x^{1/3}+2\rceil$$
當
 

$$x=26.6172$$

時，可得
 

$$N=41$$
這表示解析程式需要將級數計算至第 41 階，即可穩定重現本文的角度響應。

截斷階數太小時，常見現象包括:

• 旁瓣數量不足
• 零點位置偏移
• 前向主瓣寬度不正確
• 整體角度響應尚未收斂

可靠的檢查方式是逐步增加 $N$，並確認結果不再發生可觀察變化，以檢查級數是否充分收斂。

3. Sim4Life 數值模型建立、模擬與後處理

PEC 球體具有可由米氏級數求得的解析解，因此適合作為檢驗電磁數值方法的基準案例。本章補充教材範例 3.2.27 Bistatic RCS of a PEC Sphere 的建模、模擬設定與後處理解析解比對。
 

完整流程先在 Sim4Life 中完成模擬，再將指定觀測切面的複數電場匯出為 ExportedData.xlsx 檔案。接著，在 Sim4Life Scripter 視窗執行 mie_pec_sphere_scripter.py 腳本，完成米氏解析計算、正規化與誤差分析，並將解析解比對結果保存至指定路徑。
 

3.1 數值模型與幾何建構

建立半徑為 127 mm 的球體作為散射目標，並在外圍建立尺寸為 304 mm 的線方框(wire block)。此外，在線方框內、球體外的區域建立點感測器，以記錄局部總電場的時間變化。

 

3.2 EM-FDTD 求解器設定

在 EM-FDTD Single-port 求解器中，將球體加入材料設定並指定為理想電導體(PEC); 源設定中將線方框加入 Plane Wave Source，並定義入射波配置 Theta、Phi、Psi。本案例以觀測方位角 $\phi=180^\circ$ 表示前向散射，$\phi=0^\circ$ 表示後向散射。
 

感測器設定中加入 RCS Field Sensor 與 Point Sensor。前者提供後續散射場及 RCS 分析所需的結果，後者記錄該位置的總電場。
 

點感測器量測的是局部入射場與散射場的疊加，不能直接當成遠場 RCS。此外，它也可協助判斷時間響應是否穩定，但無法單獨證明空間離散誤差已足夠小。較完整的驗證方式是分別加密網格、延長模擬時間，並檢查 RCS 曲線及誤差指標是否趨於穩定。這能區分時間尚未穩定與空間解析度不足兩種不同問題。

以下圖示顯示本範例 FDTD 電磁求解器的相關設定:
 

3.3 後處理

3.3.1 三維散射分布與數據匯出
 

模擬完成後，先提取 RCS Field Sensor 的結果，使用 Viewers | Spherical Field Viewer 檢視三維散射分布。這一步用來確認主要散射方向與整體分布。

接著，透過 Field Data Tools | 1D-Field Filter 固定觀測極角 $\theta=90^\circ$ 與頻率 $f=10\ \mathrm{GHz}$，以方位角 $\phi$ 為橫軸，匯出 Excel 並保存為 D:\ExportedData.xlsx。比較時沿用 $\phi=180^\circ$ 為前向散射的設定。

 

導出的 Excel 工作表名稱為 EM RCS E(phi)，第 1 列為欄位名稱，其後有 361 筆資料; 方位角由 $0^\circ$ 至 $360^\circ$，間隔約為 $1^\circ$。
 

雖然工作表名稱含有 RCS，但資料實際為以 V/m 表示的複數電場分量，不能直接視為線性 RCS 或已轉換的 dB 值。

請按此接續 3.3.2